宜春學院2020年專升本《數(shù)學分析》課程考試大綱

（一）適用專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學(專升本)， 信息與計算科學(專升本)

（二）適用教材：華東師大《數(shù)學分析》（上、下冊）

一、函數(shù)、極限與連續(xù)

1、正確理解確界定義及確界原理。

2、掌握基本初等函數(shù)及其特性。

3、理解數(shù)列極限定義并掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。

4、了解單調(diào)有界定理及柯西收斂準則。

5、理解各種情形的函數(shù)極限定義，并掌握函數(shù)極限性質(zhì)。

6、正確使用兩個重要極限。

7、掌握無窮小量及無窮大量及其階的比較。

8、理解函數(shù)連續(xù)性概念并能對間斷點正確分類。

9、正確使用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的重要性質(zhì)。

10、了解實數(shù)完備性的六個基本定理。

二、導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

1、正確掌握導(dǎo)數(shù)、微分的定義及幾何意義。

2、會使用各種求導(dǎo)法則和微分法則求導(dǎo)數(shù)和微分。

3、會求高階導(dǎo)數(shù)以及由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4、理解并掌握微分學的三大中值定理。

5、正確使用洛比達規(guī)則求各類不定式極限。

6、掌握泰勒公式及馬克勞林公式并能求一些初等函數(shù)的展開式。

7、能使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凸性及拐點等幾何特性。

三、不定積分、定積分及其應(yīng)用

1、理解原函數(shù)與不定積分的概念，牢記基本積分公式。

2、熟練掌握換元積分法和分部積分法。

3、掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及某些無理函數(shù)的積分方法。

4、理解定積分的概念及其幾何意義。

5、掌握定積分的性質(zhì)及微積分學基本定理。

6、熟練掌握定積分的分部積方法和換元積方法。

7、理解非正常積分概念及掌握一些收斂判別法。

8、利用積分求平面圖形、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

9、能求已知截面面積的立體體積及曲線的弧長。

四、級數(shù)理論

1、掌握級數(shù)收斂、發(fā)散的概念及了解級數(shù)收斂的柯西準則。

2、熟練掌握正項級數(shù)斂散性的各種判別法。

3、理解絕對收斂、條件收斂及其關(guān)系，并了解一般項級數(shù)的判別法（Leibniz法，Abel法、Dirichlet法）。

4、理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性概念，并掌握相應(yīng)判別法。

5、正確理解一致收斂函數(shù)列及一致收斂函數(shù)項級數(shù)性質(zhì)。

6、熟練掌握冪級數(shù)的收斂，絕對收斂，條件收斂等概念，并正確計算冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域。

7、掌握冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)、逐項積分，并能求冪級數(shù)的和函數(shù)。

8、掌握泰勒定理并能將初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。

9、了解傅里葉級數(shù)的概念及傅里葉級數(shù)的收斂定理。

10、掌握以2π為周期或以2L為周期的函數(shù)的傅里葉展開以及奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

五、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、微分學

1、正確理解二元函數(shù)的極限、累次極限及其關(guān)系。

2、理解二元函數(shù)的連續(xù)定義。

3、熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念及其幾何意義，理解可微與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，掌握可微的條件。

4、熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則及復(fù)合函數(shù)全微分求法。

5、掌握并能計算方向?qū)?shù)、梯度。

6、能正確計算高階偏導(dǎo)數(shù)，理解泰勒定理，并能正確計算二元函數(shù)的極值。

7、理解隱函數(shù)概念，初步掌握隱函數(shù)存在唯一性定理，學會計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

8、初步掌握隱函數(shù)組定理及反函數(shù)組定理，學會計算隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù)。

9、正確計算平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程。

10、熟練掌握拉格朗日乘數(shù)法求條件極植。

六、多元函數(shù)積分學

1、理解二重積分的概念及幾何含義及可積條件、二重積分性質(zhì)。

2、正確地將二重積分化為累次積分，并會使用極坐標變換計算二重積分。

3、理解含參量積分的概念，了解含參量積分的積分法與求導(dǎo)法。

4、掌握三重積分的概念，并正確計算三重積分。

5、能使用重積分求曲面的面積、物體重心等。

6、了解二重積分的可積性問題及二重積分變量代換定理。

7、理解含參量非正常積分的一致收斂概念及判別準則，掌握含參量非正常積分的連續(xù)性、可微性及可積性。

8、掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分的概念及計算。

9、掌握第二型曲線積分與第二型曲面積分的概念及計算。

10、熟練掌握格林公式，理解曲線積分與路徑的無關(guān)性。

11、掌握高斯公式與斯托克斯公式并理解其含義。

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