宜春學院2020年專升本《數學分析》課程考試大綱

（一）適用專業(yè)：數學與應用數學(專升本)， 信息與計算科學(專升本)

（二）適用教材：華東師大《數學分析》（上、下冊）

一、函數、極限與連續(xù)

1、正確理解確界定義及確界原理。

2、掌握基本初等函數及其特性。

3、理解數列極限定義并掌握收斂數列的性質。

4、了解單調有界定理及柯西收斂準則。

5、理解各種情形的函數極限定義，并掌握函數極限性質。

6、正確使用兩個重要極限。

7、掌握無窮小量及無窮大量及其階的比較。

8、理解函數連續(xù)性概念并能對間斷點正確分類。

9、正確使用連續(xù)函數在閉區(qū)間上的重要性質。

10、了解實數完備性的六個基本定理。

二、導數、微分及其應用

1、正確掌握導數、微分的定義及幾何意義。

2、會使用各種求導法則和微分法則求導數和微分。

3、會求高階導數以及由方程所確定的隱函數的導數。

4、理解并掌握微分學的三大中值定理。

5、正確使用洛比達規(guī)則求各類不定式極限。

6、掌握泰勒公式及馬克勞林公式并能求一些初等函數的展開式。

7、能使用導數研究函數的單調性、極值、最值、凸性及拐點等幾何特性。

三、不定積分、定積分及其應用

1、理解原函數與不定積分的概念，牢記基本積分公式。

2、熟練掌握換元積分法和分部積分法。

3、掌握有理函數、三角函數有理式及某些無理函數的積分方法。

4、理解定積分的概念及其幾何意義。

5、掌握定積分的性質及微積分學基本定理。

6、熟練掌握定積分的分部積方法和換元積方法。

7、理解非正常積分概念及掌握一些收斂判別法。

8、利用積分求平面圖形、旋轉曲面的面積。

9、能求已知截面面積的立體體積及曲線的弧長。

四、級數理論

1、掌握級數收斂、發(fā)散的概念及了解級數收斂的柯西準則。

2、熟練掌握正項級數斂散性的各種判別法。

3、理解絕對收斂、條件收斂及其關系，并了解一般項級數的判別法（Leibniz法，Abel法、Dirichlet法）。

4、理解函數列、函數項級數的一致收斂性概念，并掌握相應判別法。

5、正確理解一致收斂函數列及一致收斂函數項級數性質。

6、熟練掌握冪級數的收斂，絕對收斂，條件收斂等概念，并正確計算冪級數的收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域。

7、掌握冪級數的逐項求導、逐項積分，并能求冪級數的和函數。

8、掌握泰勒定理并能將初等函數展開成冪級數。

9、了解傅里葉級數的概念及傅里葉級數的收斂定理。

10、掌握以2π為周期或以2L為周期的函數的傅里葉展開以及奇偶函數的傅里葉級數。

五、多元函數的極限、連續(xù)、微分學

1、正確理解二元函數的極限、累次極限及其關系。

2、理解二元函數的連續(xù)定義。

3、熟練掌握偏導數、全微分的概念及其幾何意義，理解可微與偏導數之間關系，掌握可微的條件。

4、熟練掌握復合函數求導的鏈式法則及復合函數全微分求法。

5、掌握并能計算方向導數、梯度。

6、能正確計算高階偏導數，理解泰勒定理，并能正確計算二元函數的極值。

7、理解隱函數概念，初步掌握隱函數存在唯一性定理，學會計算隱函數的導數。

8、初步掌握隱函數組定理及反函數組定理，學會計算隱函數組的導數。

9、正確計算平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程。

10、熟練掌握拉格朗日乘數法求條件極植。

六、多元函數積分學

1、理解二重積分的概念及幾何含義及可積條件、二重積分性質。

2、正確地將二重積分化為累次積分，并會使用極坐標變換計算二重積分。

3、理解含參量積分的概念，了解含參量積分的積分法與求導法。

4、掌握三重積分的概念，并正確計算三重積分。

5、能使用重積分求曲面的面積、物體重心等。

6、了解二重積分的可積性問題及二重積分變量代換定理。

7、理解含參量非正常積分的一致收斂概念及判別準則，掌握含參量非正常積分的連續(xù)性、可微性及可積性。

8、掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分的概念及計算。

9、掌握第二型曲線積分與第二型曲面積分的概念及計算。

10、熟練掌握格林公式，理解曲線積分與路徑的無關性。

11、掌握高斯公式與斯托克斯公式并理解其含義。

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