2020萍鄉(xiāng)學院專升本《數學分析》考試大綱

    一、課程名稱：數學分析

二、適用專業(yè)：數學與應用數學

三、考試方法：閉卷考試

四、考試時間：120分鐘

五、試卷結構：總分：100分；判斷題：10分；填空題20分；選擇題15分；計算證明應用題：55分

六、參考教材：

1、林元重著，新編數學分析（上、下冊），武漢大學出版社，2015年3月第1版

2、陳紀修、於崇華、金路編，數學分析（上、下冊），高等教育出版社，2004年6月第二版

3、華東師范大學數學系編，數學分析（上、下冊），高等教育出版社，2011年5月第四版

七、考試內容及基本要求

第1章 極限論

1.1引言 

(一) 考核要求

1. 了解數學分析是什么.

2. 掌握實數的性質（有序性，稠密性，阿基米德性．實數的四則運算），掌握實數的基本概念和最常見的不等式.

3．掌握函數概念和函數的不同的表示方法．

4. 掌握函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．

(二) 考核范圍

1. 數學分析是什么.

2. 實數的基本性質和絕對值的不等式，區(qū)間與鄰域，集合的上下界.

3. 函數的定義與表示法，復合函數與反函數，初等函數．

4. 函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．

1.2 數列極限概念

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握數列極限概念，學會用數列極限的定義證明極限，學會證明數列極限的基本方法．

2. 掌握數列極限的基本性質，掌握四則運算法則.

3. 掌握夾逼準則，理解數集確界及確界原理，掌握單調有界準則，理解柯西收斂準則．

(二) 考核范圍

1. 數列極限概念．

2. 數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則．

3. 數列極限的夾逼準則和單調有界準則，數集的確界及確界原理，數列的子列及相關定理(包括致密性定理)，柯西收斂準則．

1.3 函數極限概念及性質

(一) 考核要求

1. 正確理解和掌握函數極限的定義、定義，掌握極限與左右極限的關系，能夠用定義證明和計算函數的極限．

2. 理解并掌握函數極限的基本性質（唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則），會用這些性質計算函數的極限．

(二) 考核范圍

1. 函數極限的定義、定義，左右極限.

2. 函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則．

1.4 函數極限存在的準則與兩個重要極限

(一) 考核要求

1. 理解并掌握函數極限的歸結原則，了解函數極限的單調有界定理，理解函數極限的柯西準則．能夠寫出函數極限的歸結原理和柯西準則．

2. 熟練掌握兩個重要極限.

(二) 考核范圍

1. 函數極限的歸結，函數極限的單調有界定理，函數極限的柯西準則．

2. 兩個重要極限.

1.5 無窮小量與無窮大量

(一) 考核要求

掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．

(二) 考核范圍

無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等價無窮小，無窮大．

1.6 連續(xù)性概念

(一) 考核要求

深刻理解并掌握函數連續(xù)性概念．

(二) 考核范圍

1. 函數連續(xù)，函數左右連續(xù)，區(qū)間上函數連續(xù)的概念.

2. 間斷點及其分類.

1.7 連續(xù)函數的局部性質與初等函數的連續(xù)性

(一) 考核要求

掌握連續(xù)函數的局部性質和和初等函數的連續(xù)性．

(二) 考核范圍

1. 連續(xù)函數的局部有界性，局部保號性，四則運算.

2. 復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性，初等函數的連續(xù)性.

1.8 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

(一) 考核要求

1. 理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理.

2. 理解并掌握一致連續(xù)性概念，理解一致連續(xù)性定理．

(二) 考核范圍

1. 連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理.

2. 一致連續(xù)性概念，一致連續(xù)性定理．

1.9 實數的連續(xù)性與上(下)極限

(一)考核要求

1. 理解區(qū)間套定理、聚點定理，了解上（下）極限及其性質.

2. 理解有限覆蓋定理，了解幾個基本定理的等價性.

(二)考核范圍

1. 區(qū)間套定理、聚點定理，上（下）極限及其性質.

2. 有限覆蓋定理，幾個基本定理的等價性.

第2章 一元函數微分學

2.1 導數的概念

(一) 考核要求

1. 理解并掌握導數的定義，掌握導數的幾何意義，了解導數的物理意義.

2. 了解增量——微分公式，掌握可導與連續(xù)的關系.了解費馬定理、達布定理．

(二) 考核范圍

1. 變化率——導數，單側導數，導函數，幾個基本導數公式，幾何意義．

2. 增量——微分公式，可導與連續(xù)的關系.

2.2 導數的運算法則

(一) 考核要求

1. 熟練掌握導數的四則運算法則，理解反函數的求導法則.

2. 熟練掌握復合函數的求導法則及基本導數公式．

3. 知道求分段函數在分段點處的導數.

(二) 考核范圍

1．導數的四則運算法則，反函數的求導法則.

2. 復合函數的求導法則，對數求導法，基本導數公式．

2.3 參變量函數和隱函數的導數

(一) 考核要求

掌握參變量函數的求導法則，知道求隱函數的導數，會運用求導法則求相關變化率．

(二) 考核范圍

參變量函數的求導法則，隱函數的求導法，相關變化率．

2.4 微分

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的運算方法，了解微分在近似計算中的應用．

2. 理解微分與導數的關系，會利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

(二) 考核范圍

1. 微分的概念，微分的運算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用．

2. 利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

2.5 高階導數與高階微分

(一) 教學目的

1. 掌握高階導數的概念和計算，掌握高階導數的萊布尼茨公式．

2. 了解高階微分及其計算，知道高階導數與高階微分的關系.

(二) 考核范圍

1. 高階導數及其計算，高階導數的萊布尼茨公式．

2. 高階微分及其計算.

2.6 拉格朗日定理和函數的單調性、極值

(一) 考核要求

1. 掌握羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件、結論及證明方法，會應用中值定理證明一些不等式和一些中值公式，了解達布定理和導數極限定理.

2. 掌握求函數的單調區(qū)間和極值及最值的一般方法.

(二) 考核范圍

1. 極值概念與費馬定理.

2. 羅爾定理，拉格朗日中值定理，應用中值定理證明不等式和中值公式舉例，達布定理，導數極限定理．

3. 函數的單調性與極值，函數的最值，最值應用題舉例.

2.7 柯西中值定理和不定式極限

(一) 考核要求

掌握柯西中值定理，掌握羅比達法則，會求各種形式的不定式極限.

(二) 考核范圍

柯西中值定理及其簡單應用舉例，洛必達法則，不定式極限計算舉例．

2.8 泰勒公式

(一) 考核要求

理解帶兩種余項形式的泰勒公式，掌握基本初等函數的麥克勞林公式(熟記六個)，會利用它們求不定式極限，了解泰勒公式在求高階導數、函數極值以及近似計算方面的應用.

(二) 考核范圍

1. 帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式和麥克勞林公式，幾個基本初等函數的麥克勞林公式．

2. 泰勒公式應用舉例（不定式極限，高階導數，函數極值，近似計算）.

2.9其它應用

(一) 考核要求

1. 掌握函數凸性與拐點的概念， 會求函數凹凸區(qū)間與拐點，了解函數凸性在證明不等式方面的應用.

2．會求曲線的漸近線，了解函數作圖的一般步驟，會描繪函數的圖像.

3. 了解求方程近似解的牛頓切線法．

(二) 考核范圍

函數的凸性與拐點，凸性的判定，漸近線，函數作圖，方程的近似解.

第3章 一元函數積分學

3.1 不定積分的概念與線性運算

(一) 考核要求

理解原函數與不定積分的概念，熟練掌握基本積分公式及不定積分的線性運算法則，

了解不定積分的幾何意義，了解連續(xù)分段函數的原函數的求法.

(二) 考核范圍

原函數與不定積分的概念，基本積分公式與線性運算法則，不定積分的幾何意義．

3.2 換元積分法與分部積分法

(一) 考核要求

理解并熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．

(二) 考核范圍

第一、二換元積分法，分部積分法．

3.3 有理函數和三角函數有理式的不定積分

(一) 考核要求

掌握有理函數不定積分的計算方法，會計算一些三角函數有理式的不定積分，會計算一些簡單無理函數的不定積分，了解歐拉變換法．

(二) 考核范圍

有理函數的不定積分，三角函數有理式的不定積分，兩類無理函數的不定積分．

3.4 定積分的概念與牛頓——萊布尼茨公式

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握定積分的概念，知道定積分概念的定義，了解定積分的幾何意義和物理意義．

2. 熟練掌握牛頓——萊布尼茨公式，會利用牛頓——萊布尼茨公式計算一些特殊的和式極限．

(二) 考核范圍

定積分的幾何背景和物理背景，定積分的定義(極限形式的定義和定義)，牛頓——萊布尼茨公式．

3.5 可積函數類與定積分的性質

(一) 考核要求

1. 理解函數可積的必要條件，函數可積的充要條件(可積準則)，掌握三類可積函數，對這些定理的證明及其證明思路只要求讀懂，不作其它較高要求.

2. 理解并掌握定積分的若干基本性質，能證明一些簡單的積分不等式.

(二) 考核范圍

1. 可積的必要條件，上(下)和與上(下)積分，可積的充要條件(可積準則),可積函數類.

2. 定積分的基本性質，積分第一中值定理．

3.6 微積分學基本定理、定積分的計算(續(xù))

(一) 考核要求

1. 掌握微積分學基本定理，會求變上(下)限的定積分的導數．

2. 熟練掌握換元積分法與分部積分法.

3. 理解積分第二中值定理，理解泰勒公式的積分型余項，了解定積分近似計算．

(二) 考核范圍

變上(下)限的定積分，微積分學基本定理，換元積分法與分部積分法，積分第二中值定理，泰勒公式的積分型余項，定積分近似計算．

3.7 (3.8)定積分的應用

(一) 考核要求

1. 領會微元法的要領，掌握平面圖形面積、由平行截面面積求體積、平面曲線弧長的計算公式，了解曲線的曲率，旋轉曲面的面積．

2. 領會定積分在物理應用方面的基本方法．

(二)考核范圍

1. 微元法概述.

2. 平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面面積．

3. 功，液體靜壓力，引力．

3.9 無窮積分與瑕積分

(一) 考核要求

1. 掌握無窮積分與瑕積分的定義和計算.

2. 理解無窮積分的基本性質，掌握非負函數無窮積分的收斂性判別的比較判別法，掌握絕對收斂和條件收斂的概念，理解狄利克雷判別法和阿貝爾判別法(不作其它較高要求)．

3. 了解瑕積分與無窮積分的關系，了解瑕積分的收斂性判別法．

(二) 考核范圍

1. 無窮積分與瑕積分的定義和計算.

2. 無窮積分的基本性質，比較判別法(包括極限形式及特殊形式)，絕對收斂與條件收斂，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法．

3. 瑕積分的收斂性判別法．

第4章 級數論

4.1 數項級數的基本概念及性質

(一) 考核要求

1. 理解數項級數收斂與發(fā)散的定義，掌握收斂級數的基本性質，能夠根據定義或性質判別一些簡單簡單級數的斂散性.

2. 掌握等比級數與調和級數.

3. 理解級數收斂的柯西準則，對應用柯西準則判別級數的斂散性不作較高要求.

(二) 考核范圍

數項級收斂與發(fā)散的定義和基本性質，等比級數，調和級數，柯西準則．

4.2 正項級數

(一) 考核要求

1. 掌握判別正項級數斂散性的基本方法：比較判別法，比式判別法和根式判別.

2. 了解積分判別法和拉貝判別法．

(二) 考核范圍

1. 比較判別法，比式判別法，根式判別法．

2. 積分判別法，拉貝判別法．

4.3 變號級數

(一) 考核要求

1. 掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，掌握絕對收斂與條件收斂概念.

2. 理解狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，對其應用一般不作較高要求．

3. 理解絕對收斂級數的兩條重要性質，對其應用不作較高要求．

(二) 考核范圍

1. 交錯級數及其萊布尼茨判別法，絕對收斂與條件收斂．

2. 狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

3. 絕對收斂級數的重排，絕對收斂級數的乘積.

4.4 函數項級數及其一致收斂性

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握函數列和函數項級數一致收斂性的定義，理解一致收斂的柯西準則.

2. 掌握一致收斂的另一充要條件(即)，掌握判別函數項級數的魏爾斯特拉斯判別法即優(yōu)級數判別法．

3. 理解判別函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，對其應用不作較高要求．

(二) 考核范圍

1. 函數列與函數項級數一致收斂性的定義，一致收斂的柯西準則.

2. 一致收斂的另一充要條件，魏爾斯特拉斯判別法．

3. 函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．

4.5 一致收斂函數序列與函數項級數的性質

(一) 考核要求

理解并掌握一致收斂函數列和函數項級數的連續(xù)性，逐項積分與逐項求導法則．

(二) 考核范圍

一致收斂函數列與函數項級數的連續(xù)性，逐項積分與逐項求導法則．

4.6 冪級數及其性質

(一) 考核要求

掌握冪級數的收斂半徑及收斂域的求法，掌握冪級數的基本性質和運算法則．

(二) 考核范圍

冪級數的收斂半徑，收斂半徑的計算公式，收斂區(qū)間和收斂域的概念．

4.7 函數的冪級數展開

 (一) 考核要求

掌握泰勒級數和麥克勞林級數，熟記一些初等函數的冪級數展開式，掌握初等函數的冪級數展開.

(二) 考核范圍

泰勒級數，麥克勞林級數，五種基本初等函數的冪級數展開式，初等函數的冪級數展開（直接法和間接法）．

4.8 傅里葉級數

(一) 考核要求

1. 理解三角級數和傅里葉級數定義，掌握傅里葉級數的收斂定理，能夠按照收斂定理將比較簡單的函數展開成傅里葉級數．

2. 掌握以為周期的函數的展開式，掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開，掌握正弦級數，余弦級數．

3. 了解收斂定理的證明，了解傅里葉級數的一致收斂性．

(二) 考核范圍

1. 三角級數；正交函數系，傅里葉級數，收斂定理，傅里葉級數的展開式舉例．

2. 以為周期的函數的展開式，掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開式，函數的奇延拓與偶延拓及正弦級數與余弦級數．

3.黎曼引理，收斂定理的證明，貝塞爾不等式，一致收斂性定理．

第5章 多元函數微分學

5.1多元函數與極限(6)

(一) 考核要求

1. 理解二元及多元函數的定義．了解平面中鄰域，開域，閉域的定義.

2. 理解二元函數重極限的定義，知道二元函數極限存在的充要條件，了解方向極限與累次極限，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二) 考核范圍

1. 二元函數及多元函數,平面中的鄰域，開域，閉域.

2. 二元函數重極限定義，二元函數極限存在的充要條件，方向極限與累次極限.

5.2 二元函數的連續(xù)性

(一) 考核要求

1. 理解二元函數的連續(xù)性的定義，知道二元初等函數的連續(xù)性.

2. 了解有關二維空間上的完備性定理，知道有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的整體性質．

(二) 考核范圍

1. 二元函數的連續(xù)性的定義，二元初等函數的連續(xù)性.

2. 中的聚點定理，致密性定理，閉區(qū)域套定理，有限覆蓋定理.

3. 有界閉域上連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理和一致連續(xù)性．

(1) 基本要求：掌握二元函數的連續(xù)性的定義，了解有界閉域上連續(xù)函數的性質．

(2) 較高要求：掌握有界閉域上連續(xù)函數性質的證明要點．

5.3 偏導數與全微分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握多元函數偏導數的定義，知道偏導數的幾何意義，能夠熟練的求出初等函數的偏導數和高階偏導數，能夠求二元函數在一些特殊的導數，知道混合偏導數與求導順序無關的條件.

2. 理解并掌握二元函數可微和全微分的定義，掌握微分法則，掌握可微的必要條件，理解可微的充分條件，了解高階全微分及其運算．

(二) 考核范圍

1. 多元函數偏導數與高階偏導數，偏導數的幾何意義，混合偏導數與求導順序無關的條件.

2. 二元函數可微和全微分的定義，微分法則，可微的必要條件，可微的充分條件，高階全微分及其運算．

5.4 復合函數微分法與方向導數

(一) 考核要求

理解并熟練掌握復合函數求導的鏈式法則， 掌握方向導數與梯度的定義及其運算，了解二元函數的梯度的幾何意義．

(二) 考核范圍

1. 復合函數鏈式法則，復合函數的全微分，一階全微分形式不變性．

2. 方向導數與梯度

5.5 多元函數的泰勒公式

(一) 考核要求

理解并掌握多元函數的泰勒公式，了解泰勒公式的一個推論——中值定理．

(二) 考核范圍

泰勒公式與中值定理，泰勒公式的計算與應用舉例．

5.6 隱函數及其微分法

(一) 考核要求

1. 理解隱函數定理和可微性定理，掌握隱函數微分法．

2. 了解隱函數組及其可微性定理，知道求隱函數組的偏導數.

(二) 考核范圍

1. 隱函數存在性定理，隱函數可微性定理．

2. 隱函數組及其可微性定理，反函數組定理．

5.7 多元函數偏導數的幾何應用

(一) 考核要求

1. 理解空間曲線(兩種表示形式)的切線方程的推導，掌握空間曲線的切線與法平面方程的求法，理解曲面(兩種表示形式)的切平面方程的推導，掌握曲面的切平面與法線的求法．

2. 了解二元函數全微分的幾何意義，了解三元函數梯度的幾何意義.

(二) 考核范圍

1. 空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程．

2. 二元函數全微分的幾何意義，、三元函數梯度的幾何意義.

5.8多元函數的極值與條件極值

(一) 考核要求

1. 掌握二元函數的極值的必要條件與充分條件．

2. 了解拉格朗日乘數法，會用拉格朗日乘數法求條件極值．

(二) 考核范圍

1. 二元函數的極值，必要條件與充分條件．

2. 條件極值，拉格朗日乘數法，用條件極值的方法證明不等式．

第6章 多元函數積分學

6.1 二重積分

(一) 考核要求

1. 了解平面點集的面積定義及其性質，理解二重積分的定義和性質，理解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數可積的結論，理解并熟練掌握化二重積分為累次積分的計算公式．

2. 理解二重積分變量變換公式的證明，掌握用極坐標計算二重積分．

(二) 考核范圍

1. 二重積分的定義和性質，化二重積分為累次積分的計算公式．

2. 二重積分的變量變換公式，用極坐標計算二重積分．

6.2 三重積分

(一) 考核要求

1. 掌握三重積分的定義，了解三重積分的性質，熟練掌握化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

2. 了解三重積分變量變換公式，掌握用球坐標和柱坐標計算三重積分．

(二) 考核范圍

1. 三重積分的定義，化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

2. 三重積分變量變換公式，柱坐標變換公式，球坐標變換公式．

6.3 n重積分和廣義重積分

(一) 考核要求

了解n重積分和廣義二重積分的概念和性質，了解廣義二重積分的收斂性判別．

(二) 考核范圍

n重積分的定義，計算公式，廣義二重積分的性質，收斂性判別．

6.4 重積分的應用

(一) 考核要求

掌握用重積分計算計算面積和體積，掌握曲面面積的計算公式，了解物體的重心，轉動慣量與引力及其計算公式．

(二) 考核范圍

平面區(qū)域的面積，立體的體積，曲面的面積，物體重心，轉動慣量，引力．

6.5 第一型曲線積分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

(二) 考核范圍

第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

6.6 第二型曲線積分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握第二型曲線積分的定義，性質，坐標形式和計算公式.

2. 了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

(二) 考核范圍

1. 第二型曲線積分的定義，性質，坐標形式和計算公式.

2. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

6.7 格林公式

(一) 考核要求

理解并掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件．

(二) 考核范圍

格林公式，曲線積分與路線無關的條件．

6.8 第一型曲面積分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲面積分的定義和計算公式．

(二) 考核范圍

第一型曲面積分的定義和計算公式．

6.9 第二型曲面積分

(一) 考核要求

理解并掌握第二型曲面積分的定義、性質，了解兩類曲面積分的聯(lián)系，掌握第二型曲面積分的計算公式．

(二) 考核范圍

有向曲面的概念，第二型曲面積分的定義、性質，兩類曲面積分的聯(lián)系，第二型曲面積分的計算公式．

6.10 高斯公式與斯托克斯公式

(一) 考核要求

理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．

(二) 考核范圍

高斯公式，斯托克斯公式，沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件．

*6.11 含參變量的積分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握計算含參變量的定積分基本方法.

2. 了解含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質，了解一致收斂性判別法（魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．

3. 了解含參變量的廣義積分的連續(xù)性，可微性與可積性定理，了解含參變量的定積分基本方法.

4. 了解函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系．

(二) 考核范圍

1. 含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，定理的應用.

2. 含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質，一致收斂性判別法．

3. 連續(xù)性，可微性與可積性定理，定理的應用.

4．函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系，余元公式．

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