2020萍鄉(xiāng)學(xué)院專升本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

    一、課程名稱：數(shù)學(xué)分析

二、適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

三、考試方法：閉卷考試

四、考試時(shí)間：120分鐘

五、試卷結(jié)構(gòu)：總分：100分；判斷題：10分；填空題20分；選擇題15分；計(jì)算證明應(yīng)用題：55分

六、參考教材：

1、林元重著，新編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)），武漢大學(xué)出版社，2015年3月第1版

2、陳紀(jì)修、於崇華、金路編，數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2004年6月第二版

3、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2011年5月第四版

七、考試內(nèi)容及基本要求

第1章 極限論

1.1引言 

(一) 考核要求

1. 了解數(shù)學(xué)分析是什么.

2. 掌握實(shí)數(shù)的性質(zhì)（有序性，稠密性，阿基米德性．實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算），掌握實(shí)數(shù)的基本概念和最常見的不等式.

3．掌握函數(shù)概念和函數(shù)的不同的表示方法．

4. 掌握函數(shù)的有界性，單調(diào)性，奇偶性和周期性．

(二) 考核范圍

1. 數(shù)學(xué)分析是什么.

2. 實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和絕對(duì)值的不等式，區(qū)間與鄰域，集合的上下界.

3. 函數(shù)的定義與表示法，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)，初等函數(shù)．

4. 函數(shù)的有界性，單調(diào)性，奇偶性和周期性．

1.2 數(shù)列極限概念

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握數(shù)列極限概念，學(xué)會(huì)用數(shù)列極限的定義證明極限，學(xué)會(huì)證明數(shù)列極限的基本方法．

2. 掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)，掌握四則運(yùn)算法則.

3. 掌握夾逼準(zhǔn)則，理解數(shù)集確界及確界原理，掌握單調(diào)有界準(zhǔn)則，理解柯西收斂準(zhǔn)則．

(二) 考核范圍

1. 數(shù)列極限概念．

2. 數(shù)列極限的唯一性，有界性，保號(hào)性，保不等式性，四則運(yùn)算法則．

3. 數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，數(shù)集的確界及確界原理，數(shù)列的子列及相關(guān)定理(包括致密性定理)，柯西收斂準(zhǔn)則．

1.3 函數(shù)極限概念及性質(zhì)

(一) 考核要求

1. 正確理解和掌握函數(shù)極限的定義、定義，掌握極限與左右極限的關(guān)系，能夠用定義證明和計(jì)算函數(shù)的極限．

2. 理解并掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性，有界性，保號(hào)性，保不等式性，四則運(yùn)算法則），會(huì)用這些性質(zhì)計(jì)算函數(shù)的極限．

(二) 考核范圍

1. 函數(shù)極限的定義、定義，左右極限.

2. 函數(shù)極限的唯一性，有界性，保號(hào)性，保不等式性，四則運(yùn)算法則．

1.4 函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

(一) 考核要求

1. 理解并掌握函數(shù)極限的歸結(jié)原則，了解函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，理解函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則．能夠?qū)懗龊瘮?shù)極限的歸結(jié)原理和柯西準(zhǔn)則．

2. 熟練掌握兩個(gè)重要極限.

(二) 考核范圍

1. 函數(shù)極限的歸結(jié)，函數(shù)極限的單調(diào)有界定理，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則．

2. 兩個(gè)重要極限.

1.5 無窮小量與無窮大量

(一) 考核要求

掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數(shù)的概念．

(二) 考核范圍

無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等價(jià)無窮小，無窮大．

1.6 連續(xù)性概念

(一) 考核要求

深刻理解并掌握函數(shù)連續(xù)性概念．

(二) 考核范圍

1. 函數(shù)連續(xù)，函數(shù)左右連續(xù)，區(qū)間上函數(shù)連續(xù)的概念.

2. 間斷點(diǎn)及其分類.

1.7 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性

(一) 考核要求

掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)和和初等函數(shù)的連續(xù)性．

(二) 考核范圍

1. 連續(xù)函數(shù)的局部有界性，局部保號(hào)性，四則運(yùn)算.

2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性.

1.8 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(一) 考核要求

1. 理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，介值性定理.

2. 理解并掌握一致連續(xù)性概念，理解一致連續(xù)性定理．

(二) 考核范圍

1. 連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，介值性定理.

2. 一致連續(xù)性概念，一致連續(xù)性定理．

1.9 實(shí)數(shù)的連續(xù)性與上(下)極限

(一)考核要求

1. 理解區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理，了解上（下）極限及其性質(zhì).

2. 理解有限覆蓋定理，了解幾個(gè)基本定理的等價(jià)性.

(二)考核范圍

1. 區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理，上（下）極限及其性質(zhì).

2. 有限覆蓋定理，幾個(gè)基本定理的等價(jià)性.

第2章 一元函數(shù)微分學(xué)

2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

(一) 考核要求

1. 理解并掌握導(dǎo)數(shù)的定義，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義.

2. 了解增量——微分公式，掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.了解費(fèi)馬定理、達(dá)布定理．

(二) 考核范圍

1. 變化率——導(dǎo)數(shù)，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，幾個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式，幾何意義．

2. 增量——微分公式，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.

2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(一) 考核要求

1. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，理解反函數(shù)的求導(dǎo)法則.

2. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及基本導(dǎo)數(shù)公式．

3. 知道求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

(二) 考核范圍

1．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)的求導(dǎo)法則.

2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，基本導(dǎo)數(shù)公式．

2.3 參變量函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(一) 考核要求

掌握參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則，知道求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)運(yùn)用求導(dǎo)法則求相關(guān)變化率．

(二) 考核范圍

參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法，相關(guān)變化率．

2.4 微分

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的運(yùn)算方法，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用．

2. 理解微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)利用微分法則求參變量函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(二) 考核范圍

1. 微分的概念，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用．

2. 利用微分法則求參變量函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2.5 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分

(一) 教學(xué)目的

1. 掌握高階導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，掌握高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式．

2. 了解高階微分及其計(jì)算，知道高階導(dǎo)數(shù)與高階微分的關(guān)系.

(二) 考核范圍

1. 高階導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式．

2. 高階微分及其計(jì)算.

2.6 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性、極值

(一) 考核要求

1. 掌握羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件、結(jié)論及證明方法，會(huì)應(yīng)用中值定理證明一些不等式和一些中值公式，了解達(dá)布定理和導(dǎo)數(shù)極限定理.

2. 掌握求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值及最值的一般方法.

(二) 考核范圍

1. 極值概念與費(fèi)馬定理.

2. 羅爾定理，拉格朗日中值定理，應(yīng)用中值定理證明不等式和中值公式舉例，達(dá)布定理，導(dǎo)數(shù)極限定理．

3. 函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的最值，最值應(yīng)用題舉例.

2.7 柯西中值定理和不定式極限

(一) 考核要求

掌握柯西中值定理，掌握羅比達(dá)法則，會(huì)求各種形式的不定式極限.

(二) 考核范圍

柯西中值定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用舉例，洛必達(dá)法則，不定式極限計(jì)算舉例．

2.8 泰勒公式

(一) 考核要求

理解帶兩種余項(xiàng)形式的泰勒公式，掌握基本初等函數(shù)的麥克勞林公式(熟記六個(gè))，會(huì)利用它們求不定式極限，了解泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)、函數(shù)極值以及近似計(jì)算方面的應(yīng)用.

(二) 考核范圍

1. 帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式和麥克勞林公式，幾個(gè)基本初等函數(shù)的麥克勞林公式．

2. 泰勒公式應(yīng)用舉例（不定式極限，高階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值，近似計(jì)算）.

2.9其它應(yīng)用

(一) 考核要求

1. 掌握函數(shù)凸性與拐點(diǎn)的概念， 會(huì)求函數(shù)凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)，了解函數(shù)凸性在證明不等式方面的應(yīng)用.

2．會(huì)求曲線的漸近線，了解函數(shù)作圖的一般步驟，會(huì)描繪函數(shù)的圖像.

3. 了解求方程近似解的牛頓切線法．

(二) 考核范圍

函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)，凸性的判定，漸近線，函數(shù)作圖，方程的近似解.

第3章 一元函數(shù)積分學(xué)

3.1 不定積分的概念與線性運(yùn)算

(一) 考核要求

理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟練掌握基本積分公式及不定積分的線性運(yùn)算法則，

了解不定積分的幾何意義，了解連續(xù)分段函數(shù)的原函數(shù)的求法.

(二) 考核范圍

原函數(shù)與不定積分的概念，基本積分公式與線性運(yùn)算法則，不定積分的幾何意義．

3.2 換元積分法與分部積分法

(一) 考核要求

理解并熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．

(二) 考核范圍

第一、二換元積分法，分部積分法．

3.3 有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的不定積分

(一) 考核要求

掌握有理函數(shù)不定積分的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算一些三角函數(shù)有理式的不定積分，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單無理函數(shù)的不定積分，了解歐拉變換法．

(二) 考核范圍

有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)有理式的不定積分，兩類無理函數(shù)的不定積分．

3.4 定積分的概念與牛頓——萊布尼茨公式

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握定積分的概念，知道定積分概念的定義，了解定積分的幾何意義和物理意義．

2. 熟練掌握牛頓——萊布尼茨公式，會(huì)利用牛頓——萊布尼茨公式計(jì)算一些特殊的和式極限．

(二) 考核范圍

定積分的幾何背景和物理背景，定積分的定義(極限形式的定義和定義)，牛頓——萊布尼茨公式．

3.5 可積函數(shù)類與定積分的性質(zhì)

(一) 考核要求

1. 理解函數(shù)可積的必要條件，函數(shù)可積的充要條件(可積準(zhǔn)則)，掌握三類可積函數(shù)，對(duì)這些定理的證明及其證明思路只要求讀懂，不作其它較高要求.

2. 理解并掌握定積分的若干基本性質(zhì)，能證明一些簡(jiǎn)單的積分不等式.

(二) 考核范圍

1. 可積的必要條件，上(下)和與上(下)積分，可積的充要條件(可積準(zhǔn)則),可積函數(shù)類.

2. 定積分的基本性質(zhì)，積分第一中值定理．

3.6 微積分學(xué)基本定理、定積分的計(jì)算(續(xù))

(一) 考核要求

1. 掌握微積分學(xué)基本定理，會(huì)求變上(下)限的定積分的導(dǎo)數(shù)．

2. 熟練掌握換元積分法與分部積分法.

3. 理解積分第二中值定理，理解泰勒公式的積分型余項(xiàng)，了解定積分近似計(jì)算．

(二) 考核范圍

變上(下)限的定積分，微積分學(xué)基本定理，換元積分法與分部積分法，積分第二中值定理，泰勒公式的積分型余項(xiàng)，定積分近似計(jì)算．

3.7 (3.8)定積分的應(yīng)用

(一) 考核要求

1. 領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng)，掌握平面圖形面積、由平行截面面積求體積、平面曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，了解曲線的曲率，旋轉(zhuǎn)曲面的面積．

2. 領(lǐng)會(huì)定積分在物理應(yīng)用方面的基本方法．

(二)考核范圍

1. 微元法概述.

2. 平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面面積．

3. 功，液體靜壓力，引力．

3.9 無窮積分與瑕積分

(一) 考核要求

1. 掌握無窮積分與瑕積分的定義和計(jì)算.

2. 理解無窮積分的基本性質(zhì)，掌握非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂性判別的比較判別法，掌握絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，理解狄利克雷判別法和阿貝爾判別法(不作其它較高要求)．

3. 了解瑕積分與無窮積分的關(guān)系，了解瑕積分的收斂性判別法．

(二) 考核范圍

1. 無窮積分與瑕積分的定義和計(jì)算.

2. 無窮積分的基本性質(zhì)，比較判別法(包括極限形式及特殊形式)，絕對(duì)收斂與條件收斂，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法．

3. 瑕積分的收斂性判別法．

第4章 級(jí)數(shù)論

4.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念及性質(zhì)

(一) 考核要求

1. 理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義，掌握收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，能夠根據(jù)定義或性質(zhì)判別一些簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的斂散性.

2. 掌握等比級(jí)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù).

3. 理解級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則，對(duì)應(yīng)用柯西準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性不作較高要求.

(二) 考核范圍

數(shù)項(xiàng)級(jí)收斂與發(fā)散的定義和基本性質(zhì)，等比級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，柯西準(zhǔn)則．

4.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)

(一) 考核要求

1. 掌握判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法：比較判別法，比式判別法和根式判別.

2. 了解積分判別法和拉貝判別法．

(二) 考核范圍

1. 比較判別法，比式判別法，根式判別法．

2. 積分判別法，拉貝判別法．

4.3 變號(hào)級(jí)數(shù)

(一) 考核要求

1. 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法，掌握絕對(duì)收斂與條件收斂概念.

2. 理解狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，對(duì)其應(yīng)用一般不作較高要求．

3. 理解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的兩條重要性質(zhì)，對(duì)其應(yīng)用不作較高要求．

(二) 考核范圍

1. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茨判別法，絕對(duì)收斂與條件收斂．

2. 狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

3. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積.

4.4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性

(一) 考核要求

1. 深刻理解并掌握函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，理解一致收斂的柯西準(zhǔn)則.

2. 掌握一致收斂的另一充要條件(即)，掌握判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的魏爾斯特拉斯判別法即優(yōu)級(jí)數(shù)判別法．

3. 理解判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，對(duì)其應(yīng)用不作較高要求．

(二) 考核范圍

1. 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，一致收斂的柯西準(zhǔn)則.

2. 一致收斂的另一充要條件，魏爾斯特拉斯判別法．

3. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．

4.5 一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

(一) 考核要求

理解并掌握一致收斂函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)法則．

(二) 考核范圍

一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)法則．

4.6 冪級(jí)數(shù)及其性質(zhì)

(一) 考核要求

掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法，掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則．

(二) 考核范圍

冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂半徑的計(jì)算公式，收斂區(qū)間和收斂域的概念．

4.7 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

 (一) 考核要求

掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)，熟記一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，掌握初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開.

(二) 考核范圍

泰勒級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)，五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（直接法和間接法）．

4.8 傅里葉級(jí)數(shù)

(一) 考核要求

1. 理解三角級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)定義，掌握傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，能夠按照收斂定理將比較簡(jiǎn)單的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)．

2. 掌握以為周期的函數(shù)的展開式，掌握偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開，掌握正弦級(jí)數(shù)，余弦級(jí)數(shù)．

3. 了解收斂定理的證明，了解傅里葉級(jí)數(shù)的一致收斂性．

(二) 考核范圍

1. 三角級(jí)數(shù)；正交函數(shù)系，傅里葉級(jí)數(shù)，收斂定理，傅里葉級(jí)數(shù)的展開式舉例．

2. 以為周期的函數(shù)的展開式，掌握偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開式，函數(shù)的奇延拓與偶延拓及正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)．

3.黎曼引理，收斂定理的證明，貝塞爾不等式，一致收斂性定理．

第5章 多元函數(shù)微分學(xué)

5.1多元函數(shù)與極限(6)

(一) 考核要求

1. 理解二元及多元函數(shù)的定義．了解平面中鄰域，開域，閉域的定義.

2. 理解二元函數(shù)重極限的定義，知道二元函數(shù)極限存在的充要條件，了解方向極限與累次極限，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二) 考核范圍

1. 二元函數(shù)及多元函數(shù),平面中的鄰域，開域，閉域.

2. 二元函數(shù)重極限定義，二元函數(shù)極限存在的充要條件，方向極限與累次極限.

5.2 二元函數(shù)的連續(xù)性

(一) 考核要求

1. 理解二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，知道二元初等函數(shù)的連續(xù)性.

2. 了解有關(guān)二維空間上的完備性定理，知道有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)．

(二) 考核范圍

1. 二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，二元初等函數(shù)的連續(xù)性.

2. 中的聚點(diǎn)定理，致密性定理，閉區(qū)域套定理，有限覆蓋定理.

3. 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理，介值性定理和一致連續(xù)性．

(1) 基本要求：掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．

(2) 較高要求：掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明要點(diǎn)．

5.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，知道偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能夠熟練的求出初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)，能夠求二元函數(shù)在一些特殊的導(dǎo)數(shù)，知道混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)的條件.

2. 理解并掌握二元函數(shù)可微和全微分的定義，掌握微分法則，掌握可微的必要條件，理解可微的充分條件，了解高階全微分及其運(yùn)算．

(二) 考核范圍

1. 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)的條件.

2. 二元函數(shù)可微和全微分的定義，微分法則，可微的必要條件，可微的充分條件，高階全微分及其運(yùn)算．

5.4 復(fù)合函數(shù)微分法與方向?qū)?shù)

(一) 考核要求

理解并熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t， 掌握方向?qū)?shù)與梯度的定義及其運(yùn)算，了解二元函數(shù)的梯度的幾何意義．

(二) 考核范圍

1. 復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t，復(fù)合函數(shù)的全微分，一階全微分形式不變性．

2. 方向?qū)?shù)與梯度

5.5 多元函數(shù)的泰勒公式

(一) 考核要求

理解并掌握多元函數(shù)的泰勒公式，了解泰勒公式的一個(gè)推論——中值定理．

(二) 考核范圍

泰勒公式與中值定理，泰勒公式的計(jì)算與應(yīng)用舉例．

5.6 隱函數(shù)及其微分法

(一) 考核要求

1. 理解隱函數(shù)定理和可微性定理，掌握隱函數(shù)微分法．

2. 了解隱函數(shù)組及其可微性定理，知道求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù).

(二) 考核范圍

1. 隱函數(shù)存在性定理，隱函數(shù)可微性定理．

2. 隱函數(shù)組及其可微性定理，反函數(shù)組定理．

5.7 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

(一) 考核要求

1. 理解空間曲線(兩種表示形式)的切線方程的推導(dǎo)，掌握空間曲線的切線與法平面方程的求法，理解曲面(兩種表示形式)的切平面方程的推導(dǎo)，掌握曲面的切平面與法線的求法．

2. 了解二元函數(shù)全微分的幾何意義，了解三元函數(shù)梯度的幾何意義.

(二) 考核范圍

1. 空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程．

2. 二元函數(shù)全微分的幾何意義，、三元函數(shù)梯度的幾何意義.

5.8多元函數(shù)的極值與條件極值

(一) 考核要求

1. 掌握二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件．

2. 了解拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．

(二) 考核范圍

1. 二元函數(shù)的極值，必要條件與充分條件．

2. 條件極值，拉格朗日乘數(shù)法，用條件極值的方法證明不等式．

第6章 多元函數(shù)積分學(xué)

6.1 二重積分

(一) 考核要求

1. 了解平面點(diǎn)集的面積定義及其性質(zhì)，理解二重積分的定義和性質(zhì)，理解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)可積的結(jié)論，理解并熟練掌握化二重積分為累次積分的計(jì)算公式．

2. 理解二重積分變量變換公式的證明，掌握用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分．

(二) 考核范圍

1. 二重積分的定義和性質(zhì)，化二重積分為累次積分的計(jì)算公式．

2. 二重積分的變量變換公式，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分．

6.2 三重積分

(一) 考核要求

1. 掌握三重積分的定義，了解三重積分的性質(zhì)，熟練掌握化三重積分為累次積分的計(jì)算公式(柱體法和截面法).

2. 了解三重積分變量變換公式，掌握用球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分．

(二) 考核范圍

1. 三重積分的定義，化三重積分為累次積分的計(jì)算公式(柱體法和截面法).

2. 三重積分變量變換公式，柱坐標(biāo)變換公式，球坐標(biāo)變換公式．

6.3 n重積分和廣義重積分

(一) 考核要求

了解n重積分和廣義二重積分的概念和性質(zhì)，了解廣義二重積分的收斂性判別．

(二) 考核范圍

n重積分的定義，計(jì)算公式，廣義二重積分的性質(zhì)，收斂性判別．

6.4 重積分的應(yīng)用

(一) 考核要求

掌握用重積分計(jì)算計(jì)算面積和體積，掌握曲面面積的計(jì)算公式，了解物體的重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與引力及其計(jì)算公式．

(二) 考核范圍

平面區(qū)域的面積，立體的體積，曲面的面積，物體重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力．

6.5 第一型曲線積分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計(jì)算公式．

(二) 考核范圍

第一型曲線積分的定義，性質(zhì)和計(jì)算公式．

6.6 第二型曲線積分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握第二型曲線積分的定義，性質(zhì)，坐標(biāo)形式和計(jì)算公式.

2. 了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

(二) 考核范圍

1. 第二型曲線積分的定義，性質(zhì)，坐標(biāo)形式和計(jì)算公式.

2. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

6.7 格林公式

(一) 考核要求

理解并掌握格林公式以及曲線積分與路線無關(guān)的條件．

(二) 考核范圍

格林公式，曲線積分與路線無關(guān)的條件．

6.8 第一型曲面積分

(一) 考核要求

理解并掌握第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式．

(二) 考核范圍

第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式．

6.9 第二型曲面積分

(一) 考核要求

理解并掌握第二型曲面積分的定義、性質(zhì)，了解兩類曲面積分的聯(lián)系，掌握第二型曲面積分的計(jì)算公式．

(二) 考核范圍

有向曲面的概念，第二型曲面積分的定義、性質(zhì)，兩類曲面積分的聯(lián)系，第二型曲面積分的計(jì)算公式．

6.10 高斯公式與斯托克斯公式

(一) 考核要求

理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．

(二) 考核范圍

高斯公式，斯托克斯公式，沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件．

*6.11 含參變量的積分

(一) 考核要求

1. 理解并掌握含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握計(jì)算含參變量的定積分基本方法.

2. 了解含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質(zhì)，了解一致收斂性判別法（魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．

3. 了解含參變量的廣義積分的連續(xù)性，可微性與可積性定理，了解含參變量的定積分基本方法.

4. 了解函數(shù)與函數(shù)的定義、性質(zhì)及其聯(lián)系．

(二) 考核范圍

1. 含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，定理的應(yīng)用.

2. 含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質(zhì)，一致收斂性判別法．

3. 連續(xù)性，可微性與可積性定理，定理的應(yīng)用.

4．函數(shù)與函數(shù)的定義、性質(zhì)及其聯(lián)系，余元公式．

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