南昌大學科學技術學院2020年專升本《高等數學》考試大綱

一、適用專業(yè)

本大綱適用于理工科類各專業(yè)。

二、總體要求

本大綱規(guī)定了我院專升本考試對《高等數學》的總體要求，考生應按本大綱的要求， 了解或理解“高等數學”中的函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、空間解析幾何與向量代數、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程等方面的基本概念和基本理論，學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系，應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力， 能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算，能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際應用問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。

三、考試內容

（一） 函數、極限和連續(xù)

1.函數

（1） 理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值；會求分段函數的定義域、函數值；掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性；會判斷所給函數的類別。

（2）了解函數與其反函數之間的關系（ 定義域、值域、圖象），會求單調函數的反函數。

（3）理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。

（4） 掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象；了解初等函數的概念；會建立簡單實際問題的函數關系式。

2.極限

（1） 理解極限的概念；能根據極限概念分析函數的變化趨勢；會求函數在一點處的左極限與右極限；了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

（2） 了解極限的有關性質；掌握極限的四則運算法則。

（3） 理解無窮小量、無窮大量的概念；掌握無窮小量的性質及無窮小量與無窮大量的關系；會進行無窮小量階的比較；會運用等價無窮小量代換求極限。

（4） 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

3.連續(xù)

（1） 理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數（含分段函數） 在一點的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)與極限存在的關系。

（2） 會求函數的間斷點及確定其類型。

（3） 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題。

（4） 理解初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

（二） 一元函數微分學

1.導數與微分

（1） 理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

（2） 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

（3） 熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法， 會求反函數的導數。

（4） 掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法。

（5） 理解高階導數的概念，會求簡單函數的 n 階導數。

（6） 理解函數的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

2.中值定理及導數的應用

（1） 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義；會用羅爾定理證明方程根的存在性；會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

（2） 熟練掌握利用洛必達法則求各種未定式極限的方法。

（3） 掌握利用導數判定函數的單調性，掌握函數的單調區(qū)間的求解方法， 會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

（4） 理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最值的方法，并且會解簡單的應用問題。

（5） 會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

（6） 會求曲線的斜漸近線、水平漸近線和垂直漸近線。

（三） 一元函數積分學

1.不定積分

（1） 理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數存在定理。

（2） 熟練掌握不定積分的基本積分公式。

（3） 熟練掌握不定積分第一類換元積分法，掌握第二類換元換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。

（4） 熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5） 會求簡單有理函數的不定積分。

2.定積分

（1） 理解定積分的概念與幾何意義；掌握定積分的基本性質。

（2） 理解變上限積分的概念，掌握對變上限積分求導數的方法。

（3） 掌握牛頓— 萊布尼茨公式；掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（4） 理解無限區(qū)間和無界函數的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

（5） 掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積；會用定積分求平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積，會用定積分求平面曲線的弧長。

（四） 空間解析幾何與向量代數

1.向量代數

（1） 理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法；會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

（2） 掌握向量的線性運算、向量的數量積（點積） 與向量積（叉積） 的計算方法。

（3） 掌握兩個向量平行、垂直的條件。

2.平面與直線

（1） 會求平面的點法式方程、一般式方程；會判定兩平面的垂直、平行。

（2） 會求點到平面的距離。

（3） 了解直線的一般式方程，會求直線的點向式方程、參數式方程；會判定兩直線平行、垂直。

（4） 會判定直線與平面間的關系（垂直、平行、直線在平面上）。

3.簡單的二次曲面

了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

（五） 多元函數微積分

1.多元函數微分學

（1） 了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義及二元函數的極值與連續(xù)概念；會求二元函數的定義域。

（2） 理解偏導數概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

（3） 掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法；掌握多元復合函數偏導數的計算方法。

（4） 會求二元函數的全微分。

（5） 掌握二元函數隱函數的偏導數計算方法。

（6） 會求二元函數的無條件極值和條件極值。

2.重積分

（1） 理解二重積分的概念及其性質。

（2） 掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

（六） 無窮級數

1.常數項級數

（1） 理解級數收斂、發(fā)散的概念；掌握級數收斂的必要條件；了解級數的基本性質。

（2） 掌握正項級數的比較、比值和根值判別準則，掌握交錯級數斂散性判定方法，會使用萊布尼茨準則。

（3） 掌握等比級數（幾何級數）、調和級數及 P 級數的斂散性。

（4） 掌握級數絕對收斂與條件收斂的判定。

2.冪級數

（1）了解冪級數的概念。

（2）了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（ 和、差、逐項求導與逐項積分） 。

（3） 掌握冪級數的收斂半徑、收斂域以及和函數的計算方法。

（七） 常微分方程

1.一階微分方程

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2） 掌握可分離變量微分方程的解法，掌握齊次微分方程的解法， 掌握一階線性微分方程的解法。

2.二階微分方程

（1） 了解可降階的二階微分方程，了解二階線性微分方程解的結構。

（2） 掌握可降階的二階微分方程的解法。

（3） 掌握二階常系數線性齊次微分方程的解法。

四、考試形式

試卷總分：150 分考試時間：120 分鐘

考試方式：閉卷，筆試

五、試卷結構

1.試卷內容比例

2.試卷題型比例

3.試題難易比例

六、參考教材

《高等數學（第六版）》（ 上、下冊） 同濟大學數學系編著， 高等教育出版社。

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