成都信息工程大學(xué)“專升本”考試《高等數(shù)學(xué)（理工類）》大綱

一、考試說明：

《高等數(shù)學(xué)(理工類)》考試總分100分，包括函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、常微分方程、無窮級(jí)數(shù)和線性代數(shù)，其中線性代數(shù)內(nèi)容約占25分。考試時(shí)間總計(jì)120分鐘。

本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解” 和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。

二、考試內(nèi)容及要求：

(一)  函數(shù)、極限和連續(xù)

1.  函數(shù)

(1)理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)做出簡單的分段函數(shù)圖像。會(huì)建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。

(2)理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會(huì)判斷所給函數(shù)的類別。

(3)了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖象)，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

(4)理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。

(5)掌握基本初等函數(shù)及其簡單性質(zhì)與圖象。

(6)了解初等函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

2.  極限

(1)理解極限的概念，會(huì)求數(shù)列極限及函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限、右極限和極限，了解數(shù)列極限存在性定理以及函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則(包括數(shù)列極限與函數(shù)極限)。

(3)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

(4)了解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量與無窮大量的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

3.  連續(xù)

(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，會(huì)判斷函數(shù)(含分段函數(shù))的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。

(4)了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。

(二)  一元函數(shù)微分學(xué)

1． 導(dǎo)數(shù)與微分

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，會(huì)用定義判斷函數(shù)的可導(dǎo)性。

(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(4)掌握隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(5)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

(6)理解函數(shù)的微分概念及微分的幾何意義，掌握微分運(yùn)算法則及一階微分形式的不變性，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的微分。

2.  中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義，會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性，會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

(2)熟練掌握用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。

(4)了解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大(小)值的方法，并且會(huì)解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。

(5)會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

(6)會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

(三)  一元函數(shù)積分學(xué)

1.  不定積分

(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

(2)熟練掌握基本的積分公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法、第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

(4)掌握不定積分的分部積分法。

(5)會(huì)求簡單有理函數(shù)及簡單無理函數(shù)的不定積分。

2.  定積分

(1)理解定積分的概念與幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。

(2)掌握定積分的基本性質(zhì)

(3)了解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。并會(huì)證明一些簡單的積分恒等式。

(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積，會(huì)求平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。

(四)  向量代數(shù)與空間解析幾何

1.  向量代數(shù)

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

(2)掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積以及兩向量的向量積的計(jì)算方法。

(3)了解兩向量平行、垂直的條件。

2.  平面與直線

(1)會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。

(2)會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

(3)了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。

(4)會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線在平面上)。

3.  簡單的二次曲面

了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、圓錐面、橢球面、拋物面、和雙曲面的方程及其圖形。

(五)  多元函數(shù)微分學(xué)

(1)了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念(對(duì)計(jì)算不作要求)。會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

(2)理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念及其全微分存在的必要條件與充分條件。

(3)掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算方法。

(4)掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法(含抽象函數(shù))。

(5)會(huì)求二元函數(shù)的全微分(不含抽象函數(shù))。

(6)掌握由方程F(x,  y,z) = 0所確定的隱函數(shù) z = z(x,  y)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

(7)會(huì)求空間曲線的切線和法平面方程，會(huì)求空間曲面的切平面和法線方程。

(8)會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值。會(huì)應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求解一些最大值最小值問題。

(六)  多元函數(shù)積分學(xué)

1.  二重積分

(1)理解二重積分的概念及其性質(zhì)。

(2)掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

(3)會(huì)用二重積分解決簡單的應(yīng)用問題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積)。

2.  曲線積分

(1)了解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)。

(2)掌握對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算。

(3)掌握格林(Green)公式。掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件，并會(huì)應(yīng)用于曲線積分的計(jì)算中。

(七)  無窮級(jí)數(shù)

1.  數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

(2)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、比值判別法，了解根值判別法。

(3)掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與 p—級(jí)數(shù)的斂散性。

(4)會(huì)使用萊布尼茨判別法判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性。

(5)理解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂性。

2.  冪級(jí)數(shù)

(1)了解冪級(jí)數(shù)的概念。

(2)掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間(不要求討論端點(diǎn))的方法。

(3)掌握冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分的性質(zhì)與方法。

(4)會(huì)運(yùn)用的麥克勞林展開式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為 x或 x ? x0的冪級(jí)數(shù)。

(八)  常微分方程

1.  一階微分方程

(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。

(2)掌握可分離變量方程的解法。

(3)掌握一階線性微分方程的解法。

2.  二階線性微分方程

(1)了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

(2)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

(3)了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 (自由項(xiàng)限定為f (x) = Pn(x)ex，其中 Pn(x)為x的次多項(xiàng)式，?為實(shí)數(shù))。

(九)  線性代數(shù)

1.  行列式

(1)了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。

(2)會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式。

2.  矩陣

(1)理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣和對(duì)稱矩陣以及它們的性質(zhì)。

(2)掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣乘積的行列式及它們的運(yùn)算規(guī)律。

(3)理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣。

(4)掌握矩陣的初等變換，了解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

3.  向量

(1)了解 n  維向量的概念，向量的線性組合與線性表示。

(2)理解向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義，掌握判別向量組線性相關(guān)性的方法。

(3)了解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組和秩。

4.  線性方程組

(1)掌握克拉默法則。

(2)理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

(3)了解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解的概念。

(4)了解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

(5)掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。

三、考試題型：

1．選擇題   (18分)

2．填空題   (18分)

3．其他類型(計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題等)    (64分)

四、參考書目：

1．《高等數(shù)學(xué)》(第七版)(上冊(cè))  同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編  高等教育出版社。

2．《高等數(shù)學(xué)》(第七版)(下冊(cè))  同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編  高等教育出版社。

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